Suite Padovan – Bac théorique – Section informatique – 2025
Sujet (Algo et programmation - Bac 2025)
La suite de Padovan est définie par :
U0 = 1
U1 = 1
U2 = 1
Un= Un-2 + Un-3 pour n >= 3
Le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Padovan, Un+1/Un, converge vers une constante mathématique p appelée nombre plastique, telle que :
Cette constante p est définie comme l'unique solution réelle de l'équation du troisième degré : x3 = x+ 1 .
Travail demandé
1- Calculer la valeur de U6
2- Quel est l'ordre de récurrence de la suite de Padovan ? justifier la réponse.
3- Ecrire un algorithme d'une fonction récursive Suite(n) qui calcule le terme Un de la suite de
4- En faisant appel à la fonction Suite, écrire un algorithme d'un module nommé Plastique(epsilon) qui permet de déterminer une valeur approchée du nombre plastique p à epsilon près. Le calcul s'arrête lorsque la valeur absolue de la différence entre deux valeurs successives de p devient inférieure ou égale à epsilon.
Solution Algorithmique
Dans cet algorithme, On va utiliser deux fonctions :
- la fonction suite()
- la fonction plastique()
Algorithme du programme Principal
|
1 2 3 4 5 6 7 8 |
Algorithme suite Debut # Saisie de la précision epsilon Ecrire('Donner une valeur de Epsilon : ') Lire(epsilon) # Affichage de la valeur approchée du nombre plastique Ecrire('La valeur approchée de p = ', plastique(epsilon)) Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| epsilon | réel |
La fonction suite
Cette fonction permet de calculer et retourner le nième terme de la suite de Padovan définie par récurrence
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
Fonction suite(n:entier):entier # Cas de base : les trois premiers termes valent 1 Si n = 0 alors retourner 1 Sino Si n = 1 alors retourner 1 Sinon Si n == 2 alors retourner 1 # Cas général : calcul récursif Sino si n >= 3 alors retourner suite(n-2) + suite(n-3) Fin |
La fonction plastique
La fonction plastique(epsilon) détermine une approximation du nombre plastique en utilisant la convergence du rapport de deux termes consécutifs de la suite, avec une précision contrôlée par epsilon.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Fonction plastique(epsilon:reel):reel # Calcul des deux premiers rapports p1 <- suite(2) / suite(1) p2 <- suite(3) / suite(2) # Initialisation de l'indice n n <- 4 # Tant que la différence entre deux rapports # successifs est supérieure à epsilon Tant que abs(p1 - p2) > epsilon faire p1 <- p2 p2 <- suite(n) / suite(n-1) n <- n + 1 Fin tant que # Retourner la valeur approchée obtenue retourner p1 Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| p1 | entier |
| p2 | entier |
| n | entier |
Solution en Python
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 |
# -------------------------------------------------- # Fonction suite(n) # Calcule le n-ième terme d'une suite définie par : # suite(0) = 1 # suite(1) = 1 # suite(2) = 1 # suite(n) = suite(n-2) + suite(n-3) pour n ≥ 3 # -------------------------------------------------- def suite(n): # Cas de base : les trois premiers termes valent 1 if n == 0: return 1 elif n == 1: return 1 elif n == 2: return 1 # Cas général : calcul récursif elif n >= 3: return suite(n-2) + suite(n-3) # -------------------------------------------------- # Fonction plastique(epsilon) # Calcule une valeur approchée du nombre plastique # en utilisant le rapport de deux termes consécutifs # de la suite, jusqu'à ce que la différence entre # deux rapports successifs soit inférieure à epsilon # -------------------------------------------------- def plastique(epsilon): # Calcul des deux premiers rapports p1 = suite(2) / suite(1) p2 = suite(3) / suite(2) # Initialisation de l'indice n n = 4 # Tant que la différence entre deux rapports # successifs est supérieure à epsilon while abs(p1 - p2) > epsilon: p1 = p2 p2 = suite(n) / suite(n-1) n = n + 1 # Retourner la valeur approchée obtenue return p1 # -------------------------------------------------- # Programme principal # -------------------------------------------------- # Saisie de la précision epsilon epsilon = float(input('Donner une valeur de Epsilon : ')) # Affichage de la valeur approchée du nombre plastique print('La valeur approchée de p = ', plastique(epsilon)) |
Exécution du programme
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