Nombre brésilien – Bac théorique – Section informatique – 2022

Bac Info 19-01-26

21 0

Sujet (Algo et programmation - Bac 2022)

Un nombre décimal n est dit brésilien s’il possède, dans une base B (avec 2 ≤ B ≤ n – 2), une représentation qui s’écrit sous la forme de p chiffres égaux, c’est-à-dire :

Exemples :

- 7 est un nombre brésilien car 7 = (111)2

- 3124 est un nombre brésilien car 3124 = (44444)5

- 1170 est un nombre brésilien car 1170 = (2222)8

- 20 est un nombre brésilien car 20 = (22)9

- 204 est un nombre brésilien car 204 = (CC)16

- 9 n'est pas un nombre brésilien car 9 = (1001)2 = (100)3 = (21)4 = (14)5 = (13)6 = (12)7 et aucune de ces écritures n’est brésilienne.

On se propose d’écrire un algorithme d’une procédure Gen_Bres qui permet de créer et de remplir un fichier d’enregistrements nommé "F_Brésilien.dat" par les nombres brésiliens contenus dans un fichier texte existant nommé "Nombres.txt", sachant que chaque ligne du fichier texte "Nombres.txt" contient un nombre décimal et chaque enregistrement du fichier "F_Brésilien.dat" comportera les champs suivants :

- N : Le nombre décimal.

- B : Une base dans laquelle le nombre N s’écrit sous la forme de p chiffres égaux avec 2 ≤ B ≤ 16. - Rep : La représentation du nombre décimal N dans la base B.

Travail demandé :

1. Analyser le problème en le décomposant en modules.

2. Ecrire les algorithmes des modules envisagés.

Solution Algorithmique

Dans cet algorithme, On va utiliser quatre fonctions et deux procédures :

- la fonction saisie()

- la fonction conversion_base()

- la fonction test_bresilien()

- la fonction recherche_base()

- la procédure remplir_fichier_nombres()

- la procédure remplir_fichier_bresilien()

Algorithme du programme Principal

Algorithme nombres_présilien
Debut 
      n <- saisie()                     # Saisie de la borne supérieure
      remplir_fichier_nombres(n)       # Création du fichier des nombres brésiliens
      remplir_fichier_bresilien()      # Création du fichier binaire
Fin

Algorithme nombres_présilien

Debut

n <- saisie() # Saisie de la borne supérieure

remplir_fichier_nombres(n) # Création du fichier des nombres brésiliens

remplir_fichier_bresilien() # Création du fichier binaire

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier

La fonction saisie()

La fonction saisie() sert à demander à l’utilisateur de saisir un entier valide n supérieur ou égal à 2, puis à vérifier cette saisie avant de la retourner.

Fonction saisie(longueur:entier):entier
     # Demande à l'utilisateur de saisir un entier n
     Ecrire('donner n >= 2 : ')
     Lire(n)
    # Vérification de la validité de la saisie
    # Tant que n est inférieur à 2, on redemande la saisie
    Tant que Non (n >= 2) faire
       Ecrire('donner n >= 2 : ') 
       Lire(n)
    Fin tant que
    # Retourne la valeur valide de n
    retourner n  
 Fin

Fonction saisie(longueur:entier):entier

# Demande à l'utilisateur de saisir un entier n

Ecrire('donner n >= 2 : ')

Lire(n)

# Vérification de la validité de la saisie

# Tant que n est inférieur à 2, on redemande la saisie

Tant que Non (n >= 2) faire

Ecrire('donner n >= 2 : ')

Lire(n)

Fin tant que

# Retourne la valeur valide de n

retourner n

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
n	entier

La fonction conversion_base

La fonction conversion_base(n, b) sert à convertir un nombre décimal n en sa représentation dans une base b, avec 2 ≤ b ≤ 16, puis à retourner cette représentation sous forme de chaîne de caractères.

Fonction conversion_base(n:entier, b:entier):chaîne
    ch <- ""                               # Chaîne résultat
    chiffres <- "0123456789ABCDEF"         # Symboles des chiffres possibles

    # Conversion par divisions successives
    Tant que n > 0 faire
        reste <- n mod b                     # Calcul du reste
        ch <- chiffres[reste] + ch         # Ajout du chiffre correspondant
        n <- n div b                        # Division entière

    retourner ch

Fin

Fonction conversion_base(n:entier, b:entier):chaîne

ch <- "" # Chaîne résultat

chiffres <- "0123456789ABCDEF" # Symboles des chiffres possibles

# Conversion par divisions successives

Tant que n > 0 faire

reste <- n mod b # Calcul du reste

ch <- chiffres[reste] + ch # Ajout du chiffre correspondant

n <- n div b # Division entière

retourner ch

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
ch	entier
chiffres	entier
reste	entier

La fonction test_unicite_chiffres

La fonction test_unicite_chiffres(nombre) sert à vérifier si tous les chiffres d’un nombre, représenté sous forme de chaîne, sont identiques.

Fonction test_unicite_chiffres(nombre:chaine):booleen
    # Si la représentation contient plus d’un chiffre
    Si long(nombre) != 1 alors
        i <- 0
        # Vérifier l’égalité des chiffres successifs
        Tant que (i < long(nombre) - 2) et (nombre[i] = nombre[i + 1]) faire
            i <- i + 1
        Fin tant que
        retourner (nombre[i] = nombre[i + 1])
    Sinon
        retourner Faux
    Fin si
Fin

Fonction test_unicite_chiffres(nombre:chaine):booleen

# Si la représentation contient plus d’un chiffre

Si long(nombre) != 1 alors

i <- 0

# Vérifier l’égalité des chiffres successifs

Tant que (i < long(nombre) - 2) et (nombre[i] = nombre[i + 1]) faire

i <- i + 1

Fin tant que

retourner (nombre[i] = nombre[i + 1])

Sinon

retourner Faux

Fin si

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
i	entier

La fonction test_bresilien

La fonction test_bresilien(n) vérifie si un nombre n est brésilien, c’est-à-dire s’il existe une base entre 2 et 16 dans laquelle tous ses chiffres sont identiques.

Fonction test_bresilien(n:entier):booleen
    b <- 2                                 # Base initiale
    nombre <- conversion_base(n, b)        # Conversion du nombre

    # Recherche d’une base donnant des chiffres identiques
    Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire
        b <- b + 1
        nombre <- conversion_base(n, b)
    Fin tant que
    retourner test_unicite_chiffres(nombre)

Fin

Fonction test_bresilien(n:entier):booleen

b <- 2 # Base initiale

nombre <- conversion_base(n, b) # Conversion du nombre

# Recherche d’une base donnant des chiffres identiques

Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire

b <- b + 1

nombre <- conversion_base(n, b)

Fin tant que

retourner test_unicite_chiffres(nombre)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
b	entier
nombre	chaîne

La fonction recherche_base

La fonction recherche_base(n) sert à déterminer la base (entre 2 et 16) dans laquelle un nombre décimal n devient un nombre brésilien, c’est-à-dire une base où tous ses chiffres sont identiques.

Fonction recherche_base(n:entier):entier
    b <- 2                                 # Base initiale
    nombre <- conversion_base(n, b)        # Conversion du nombre

    # Recherche d’une base donnant des chiffres identiques
    Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire
        b <- b + 1
        nombre <- conversion_base(n, b)
    Fin tant que
    retourner b

Fin

Fonction recherche_base(n:entier):entier

b <- 2 # Base initiale

nombre <- conversion_base(n, b) # Conversion du nombre

# Recherche d’une base donnant des chiffres identiques

Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire

b <- b + 1

nombre <- conversion_base(n, b)

Fin tant que

retourner b

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
b	entier
nombre	chaîne

La procédure remplir_fichier_nombres

La procédure remplir_fichier_nombres(n) sert à créer un fichier texte "Nombres.txt" contenant tous les nombres brésiliens compris entre 2 et n.

Procedure remplir_fichier_nombres(n:entier)
    # Ouverture du fichier en écriture texte
    Ouvrir(f , "Nombres.txt", "w")

    # Parcours des nombres
    Pour i de 2 à n faire
        Si test_bresilien(i) alors
            Ecrire(f , Convch(i) + '\n')
        Fin si
    Fin pour  
    # Fermeture du fichier
    Fermer(f)
Fin

Procedure remplir_fichier_nombres(n:entier)

# Ouverture du fichier en écriture texte

Ouvrir(f , "Nombres.txt", "w")

# Parcours des nombres

Pour i de 2 à n faire

Si test_bresilien(i) alors

Ecrire(f , Convch(i) + '\n')

Fin si

Fin pour

# Fermeture du fichier

Fermer(f)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
f	fichier
i	entier

La procédure remplir_fichier_bresilien

La procédure remplir_fichier_nombres(n) sert à créer un fichier texte "Nombres.txt" contenant tous les nombres brésiliens compris entre 2 et n.

Procedure remplir_fichier_bresilien()
    Ecrire("*** Contenu du fichier F_Brésilien.dat ***")

    # Ouverture des fichiers
    Ouvrir(f_nombres , "Nombres.txt", "r")
    Ouvrir(f_bresilien , "F_Brésilien.dat", "wb")

    # Lecture des nombres brésiliens
    nombres <- f_nombres.readlines()

    Pour nombre_f dans nombres faire
        nombre_f <- nombre_f.strip('\n')
        n <- Valeur(nombre_f)
        b <- 2
        nombre = conversion_base(n, b)

        # Recherche de la base brésilienne
        Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire
            b <- b + 1
            nombre <- conversion_base(n, b)
        Fin tant que
        # Affichage à l’écran
        Ecrire('N =', nombre_f, ' B =', b, ' Rep =', nombre)

        # Remplissage de l’enregistrement
        enregistrement_bresilien['N'] <- n
        enregistrement_bresilien['B'] <- b
        enregistrement_bresilien['Rep'] <- nombre

        # Écriture dans le fichier binaire
        Ecrire(f_bresilien,enregistrement_bresilien)
    Fin pour
    # Fermeture des fichiers
    Fermer(f_nombres)
    Fermerf_bresilien)
Fin

Procedure remplir_fichier_bresilien()

Ecrire("*** Contenu du fichier F_Brésilien.dat ***")

# Ouverture des fichiers

Ouvrir(f_nombres , "Nombres.txt", "r")

Ouvrir(f_bresilien , "F_Brésilien.dat", "wb")

# Lecture des nombres brésiliens

nombres <- f_nombres.readlines()

Pour nombre_f dans nombres faire

nombre_f <- nombre_f.strip('\n')

n <- Valeur(nombre_f)

b <- 2

nombre = conversion_base(n, b)

# Recherche de la base brésilienne

Tant que Non(test_unicite_chiffres(nombre)) et (b < 16) faire

b <- b + 1

nombre <- conversion_base(n, b)

Fin tant que

# Affichage à l’écran

Ecrire('N =', nombre_f, ' B =', b, ' Rep =', nombre)

# Remplissage de l’enregistrement

enregistrement_bresilien['N'] <- n

enregistrement_bresilien['B'] <- b

enregistrement_bresilien['Rep'] <- nombre

# Écriture dans le fichier binaire

Ecrire(f_bresilien,enregistrement_bresilien)

Fin pour

# Fermeture des fichiers

Fermer(f_nombres)

Fermerf_bresilien)

Fin

Déclaration des objets

Objet	Type / Nature
f_nombres	fichier
f_bresilien	fichier
nombres	chaîne
nombre_f	chaîne
n	entier
b	entier
nombre	chaîne
enregistrement_bresilien	Enregistrement

Solution en Python

import pickle
from pickle import load, dump

# --------------------------------------------------
# Définition d’un enregistrement pour un nombre brésilien
# N   : le nombre décimal
# B   : la base dans laquelle le nombre est brésilien
# Rep : la représentation du nombre dans la base B
# --------------------------------------------------
enregistrement_bresilien = dict(
    N = int(),    # Nombre décimal
    B = str(),    # Base de conversion
    Rep = str()   # Représentation dans la base
)

# --------------------------------------------------
# Fonction de saisie d’un entier n (n >= 2)
# --------------------------------------------------
def saisie():
    # Demande à l'utilisateur de saisir un entier n
    n = int(input('donner n >= 2 : '))

    # Vérification de la validité de la saisie
    # Tant que n est inférieur à 2, on redemande la saisie
    while not (n >= 2):
        n = int(input('donner n >= 2 : '))

    # Retourne la valeur valide
    return n


# --------------------------------------------------
# Fonction qui convertit un nombre décimal n
# dans une base b (2 ≤ b ≤ 16)
# --------------------------------------------------
def conversion_base(n, b):
    ch = ""                               # Chaîne résultat
    chiffres = "0123456789ABCDEF"         # Symboles des chiffres possibles

    # Conversion par divisions successives
    while n > 0:
        reste = n % b                     # Calcul du reste
        ch = chiffres[reste] + ch         # Ajout du chiffre correspondant
        n = n // b                        # Division entière

    return ch


# --------------------------------------------------
# Fonction qui teste si tous les chiffres d’un nombre
# sont identiques (exemple : 111 ou AAA)
# --------------------------------------------------
def test_unicite_chiffres(nombre):
    # Si la représentation contient plus d’un chiffre
    if len(nombre) != 1:
        i = 0

        # Vérifier l’égalité des chiffres successifs
        while (i < len(nombre) - 2) and (nombre[i] == nombre[i + 1]):
            i = i + 1

        return (nombre[i] == nombre[i + 1])
    else:
        return False


# --------------------------------------------------
# Fonction qui teste si un nombre n est brésilien
# --------------------------------------------------
def test_bresilien(n):
    b = 2                                 # Base initiale
    nombre = conversion_base(n, b)        # Conversion du nombre

    # Recherche d’une base donnant des chiffres identiques
    while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):
        b = b + 1
        nombre = conversion_base(n, b)

    return test_unicite_chiffres(nombre)


# --------------------------------------------------
# Fonction qui retourne la base dans laquelle
# le nombre n est brésilien
# --------------------------------------------------
def recherche_base(n):
    b = 2
    nombre = conversion_base(n, b)

    while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):
        b = b + 1
        nombre = conversion_base(n, b)

    return b


# --------------------------------------------------
# Procédure qui écrit dans le fichier "Nombres.txt"
# tous les nombres brésiliens compris entre 2 et n-1
# --------------------------------------------------
def remplir_fichier_nombres(n):
    # Ouverture du fichier en écriture texte
    f = open("Nombres.txt", "w")

    # Parcours des nombres
    for i in range(2, n+1):
        if test_bresilien(i):
            f.write(str(i) + '\n')

    # Fermeture du fichier
    f.close()


# --------------------------------------------------
# Procédure qui crée le fichier binaire
# "F_Brésilien.dat" contenant les informations
# des nombres brésiliens
# --------------------------------------------------
def remplir_fichier_bresilien():
    print("*** Contenu du fichier F_Brésilien.dat ***")

    # Ouverture des fichiers
    f_nombres = open("Nombres.txt", "r")
    f_bresilien = open("F_Brésilien.dat", "wb")

    # Lecture des nombres brésiliens
    nombres = f_nombres.readlines()

    for nombre_f in nombres:
        nombre_f = nombre_f.strip('\n')
        n = int(nombre_f)
        b = 2
        nombre = conversion_base(n, b)

        # Recherche de la base brésilienne
        while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):
            b = b + 1
            nombre = conversion_base(n, b)

            # Affichage à l’écran
        print('N =', nombre_f, ' B =', b, ' Rep =', nombre)

        # Remplissage de l’enregistrement
        enregistrement_bresilien['N'] = n
        enregistrement_bresilien['B'] = b
        enregistrement_bresilien['Rep'] = nombre

        # Écriture dans le fichier binaire
        dump(enregistrement_bresilien, f_bresilien)

    # Fermeture des fichiers
    f_nombres.close()
    f_bresilien.close()


# --------------------------------------------------
# Programme principal
# --------------------------------------------------
n = saisie()                     # Saisie de la borne supérieure
remplir_fichier_nombres(n)       # Création du fichier des nombres brésiliens
remplir_fichier_bresilien()      # Création du fichier binaire

100

101

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103

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130

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150

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159

160

161

import pickle

from pickle import load, dump

# --------------------------------------------------

# Définition d’un enregistrement pour un nombre brésilien

# N : le nombre décimal

# B : la base dans laquelle le nombre est brésilien

# Rep : la représentation du nombre dans la base B

# --------------------------------------------------

enregistrement_bresilien = dict(

N = int(), # Nombre décimal

B = str(), # Base de conversion

Rep = str() # Représentation dans la base

)

# --------------------------------------------------

# Fonction de saisie d’un entier n (n >= 2)

# --------------------------------------------------

def saisie():

# Demande à l'utilisateur de saisir un entier n

n = int(input('donner n >= 2 : '))

# Vérification de la validité de la saisie

# Tant que n est inférieur à 2, on redemande la saisie

while not (n >= 2):

n = int(input('donner n >= 2 : '))

# Retourne la valeur valide

return n

# --------------------------------------------------

# Fonction qui convertit un nombre décimal n

# dans une base b (2 ≤ b ≤ 16)

# --------------------------------------------------

def conversion_base(n, b):

ch = "" # Chaîne résultat

chiffres = "0123456789ABCDEF" # Symboles des chiffres possibles

# Conversion par divisions successives

while n > 0:

reste = n % b # Calcul du reste

ch = chiffres[reste] + ch # Ajout du chiffre correspondant

n = n // b # Division entière

return ch

# --------------------------------------------------

# Fonction qui teste si tous les chiffres d’un nombre

# sont identiques (exemple : 111 ou AAA)

# --------------------------------------------------

def test_unicite_chiffres(nombre):

# Si la représentation contient plus d’un chiffre

if len(nombre) != 1:

i = 0

# Vérifier l’égalité des chiffres successifs

while (i < len(nombre) - 2) and (nombre[i] == nombre[i + 1]):

i = i + 1

return (nombre[i] == nombre[i + 1])

else:

return False

# --------------------------------------------------

# Fonction qui teste si un nombre n est brésilien

# --------------------------------------------------

def test_bresilien(n):

b = 2 # Base initiale

nombre = conversion_base(n, b) # Conversion du nombre

# Recherche d’une base donnant des chiffres identiques

while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):

b = b + 1

nombre = conversion_base(n, b)

return test_unicite_chiffres(nombre)

# --------------------------------------------------

# Fonction qui retourne la base dans laquelle

# le nombre n est brésilien

# --------------------------------------------------

def recherche_base(n):

b = 2

nombre = conversion_base(n, b)

while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):

b = b + 1

nombre = conversion_base(n, b)

return b

# --------------------------------------------------

# Procédure qui écrit dans le fichier "Nombres.txt"

# tous les nombres brésiliens compris entre 2 et n-1

# --------------------------------------------------

def remplir_fichier_nombres(n):

# Ouverture du fichier en écriture texte

f = open("Nombres.txt", "w")

# Parcours des nombres

for i in range(2, n+1):

if test_bresilien(i):

f.write(str(i) + '\n')

# Fermeture du fichier

f.close()

# --------------------------------------------------

# Procédure qui crée le fichier binaire

# "F_Brésilien.dat" contenant les informations

# des nombres brésiliens

# --------------------------------------------------

def remplir_fichier_bresilien():

print("*** Contenu du fichier F_Brésilien.dat ***")

# Ouverture des fichiers

f_nombres = open("Nombres.txt", "r")

f_bresilien = open("F_Brésilien.dat", "wb")

# Lecture des nombres brésiliens

nombres = f_nombres.readlines()

for nombre_f in nombres:

nombre_f = nombre_f.strip('\n')

n = int(nombre_f)

b = 2

nombre = conversion_base(n, b)

# Recherche de la base brésilienne

while not(test_unicite_chiffres(nombre)) and (b < 16):

b = b + 1

nombre = conversion_base(n, b)

# Affichage à l’écran

print('N =', nombre_f, ' B =', b, ' Rep =', nombre)

# Remplissage de l’enregistrement

enregistrement_bresilien['N'] = n

enregistrement_bresilien['B'] = b

enregistrement_bresilien['Rep'] = nombre

# Écriture dans le fichier binaire

dump(enregistrement_bresilien, f_bresilien)

# Fermeture des fichiers

f_nombres.close()

f_bresilien.close()

# --------------------------------------------------

# Programme principal

# --------------------------------------------------

n = saisie() # Saisie de la borne supérieure

remplir_fichier_nombres(n) # Création du fichier des nombres brésiliens

remplir_fichier_bresilien() # Création du fichier binaire

Exécution du programme

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Sujet (Algo et programmation - Bac 2022)

Solution Algorithmique

Algorithme du programme Principal

La fonction saisie()

La fonction conversion_base

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La procédure remplir_fichier_nombres

La procédure remplir_fichier_bresilien

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