Divisibilité par 13 et 7 – Bac pratique – Section informatique – 2020
Sujet (Algo et programmation - Bac 2020)
Soit "Nombre.txt" un fichier texte contenant des entiers naturels à raison d’un entier par ligne. On se propose de créer deux fichiers textes "Div13.txt" et "Div7.txt" contenant respectivement les valeurs, de "Nombre.txt", qui sont divisibles par 13 et par 7 à raison d’un entier par ligne en se basant sur les deux principes décrits ci-après :
A- Divisibilité par 13
L’algorithme du module Divis13 ci-après permet de vérifier si un nombre N est divisible par 13.
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Fonction Divis13(N:chaine):booléen Début s<-0 sg<--1 Tant que long(n)>3 faire v <- Valeur(Sous_chaine(n, long(n)-3, long(n))) s <- s+v*sg sg <- -sg n <- Sous_chaine(n, 0 , long(n)-3) Fin tant que v <- Valeur(n) s <- s+v*sg retourner abs(s) div 1 ==0 Fin |
Exemple :
Pour vérifier si le nombre 1612311857 est divisible par 13, on applique la règle de divisibilité par 13 décrite par l’algorithme précédent :
- On regroupe les chiffres du nombre par des blocs de trois chiffres en commençant à partir des unités : 1 | 612 | 311 | 857
- On ajoute alternativement des "–" et des "+" entre les blocs en commençant par placer un "–" pour le premier bloc à droite : 1 – 612 + 311 – 857
- On effectue l’opération ainsi obtenue : 1 – 612 + 311 – 857 = –1157
- La valeur absolue du résultat obtenu (1157) est divisible par 13 donc 1612311857 est divisible par 13. B- Divisibilité par 7
Pour vérifier si un nombre N est divisible par 7 nous proposons la règle de divisibilité suivante :
- Calculer la somme itérée et pondérée des chiffres de N par la série périodique de période 1, 3, 2, −1, −3, −2, c’est-à-dire additionner tous les chiffres de N en multipliant chacun par un chiffre de la période en commençant par le chiffre des unités qui sera multiplié par 1, le chiffre des dizaines sera multiplié par 3, ... . Si la somme est un nombre formé de plus d’un chiffre, on recommence le processus.
Exemple : Pour N = 45286090 la somme itérée et pondérée est égale à 3. En effet :
0 x 1 + 9 x 3 + 0 x 2 + 6 x (−1) + 8 x (−3) + 2 x (−2) + 5 x 1 + 4 x 3 = 10
Comme 10 est composé de plus d’un chiffre alors on recommence le processus avec 10, d’où : 0 x 1 + 1 x 3 = 3
- Un nombre N est divisible par 7 si la somme itérée et pondérée de ses chiffres par la série périodique de période 1, 3, 2, −1, −3, −2 vaut 0 ou 7.
Exemples :
- 6090 est divisible par 7, en effet : 0 x 1 + 9 x 3 + 0 x 2 + 6 x (−1) = 21. Comme 21 est composé de plus d’un chiffre alors on recommence le processus d’où 1 x 1 + 2 x 3 = 7
- 717255 est divisible par 7, en effet : 5 x 1 + 5 x 3 + 2 x 2 + 7 x (−1) + 1 x (−3) + 7 x (−2) = 0
- 45286090 n’est pas divisible par 7, en effet : 0 x 1 + 9 x 3 + 0 x 2 + 6 x (−1) + 8 x (−3) + 2 x (−2) + 5 x 1 + 4 x 3 = 10
Comme 10 est composé de plus d’un chiffre alors on recommence le processus d’où 0 x 1 + 1 x 3 = 3 Comme 3 est différent de 0 et de 7 donc 45286090 n’est pas divisible par 7
Travail demandé :
Ecrire un programme en Python qui permet de :
- Saisir Nb entiers naturels (Nb≥ 5) à enregistrer dans le fichier "Nombre.txt"
- Placer les nombres du fichier "Nombre.txt" qui sont divisibles par 13 dans un fichier nommé "Div13.txt" en utilisant le module Divis13 et les nombres divisibles par 7 dans un fichier nommé "Div7.txt" en appliquant la règle de divisibilité par 7 expliquée ci-dessus.
Solution Algorithmique
Dans cet algorithme, On va utiliser trois fonctions et six procédures:
- la fonction saisie()
- la procédure remplir_fichier_nombre()
- la fonction divis13()
- la fonction divis7()
- la procédure remplir_fichiers_div()
- la procédure afficher_fichiers_div()
Algorithme du programme Principal
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Algorithme divisibilite_13_7 Debut n = saisie() # Saisie du nombre d'entiers remplir_fichier_nombre(n) # Remplissage du fichier Nombre.txt remplir_fichiers_div() # Remplissage des fichiers Div13.txt et Div7.txt afficher_fichiers_div("Div13.txt") # Affichage des nombres divisibles par 13 afficher_fichiers_div("Div7.txt") # Affichage des nombres divisibles par 7 Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| n | entier |
La fonction saisie
Cette fonction a pour objectif de demander à l’utilisateur de saisir un entier supérieur ou égal à 5 et de s’assurer que la saisie est valide avant de la retourner.
Elle garantit qu’on obtient toujours un entier ≥ 5, évitant ainsi les erreurs liées à une saisie incorrecte.
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Fonction saisie():entier # Saisie initiale Ecrire('donner un nombre >=5: ') Lire(n) # Vérification de la validité de la saisie Tant que Non(n >= 5) faire Ecrire('donner un nombre >=5: ') Lire(n) Fin tant que # Retourner la valeur valide retourner n Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| n | entier |
La procédure remplir_fichier_nombre
Cette procédure a pour objectif de remplir un fichier texte "Nombre.txt" avec n entiers saisis par l’utilisateur.
Elle permet de créer un fichier texte contenant n entiers saisis par l’utilisateur, chaque entier sur une ligne séparée, prêt à être utilisé pour d’autres traitements (comme les tests de divisibilité).
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Procedure remplir_fichier_nombre(n:entier) Ecrire('*** Remplir fichier Nombre.txt ***') # Ouverture du fichier en écriture Ouvrir(f =, "Nombre.txt", "w") # Saisie et écriture des entiers dans le fichier Pour i de 0 à n-1 faire Ecrire('donner un entier: ') Lire(nbr) Ecrire(f, nbr + '\n') # Chaque entier est écrit sur une nouvelle ligne Fin pour # Fermeture du fichier Fermer(f) Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| f | fichier |
| i | entier |
| nbr | chaîne |
La fonction divis7
Cette fonction permet de vérifier si un nombre est divisible par 7 en utilisant une méthode spéciale basée sur une série répétitive [1, 3, 2, -1, -3, -2].
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Fonction divis7(n:chaine, serie:tableau):booleen # Réduire le nombre à un chiffre par itérations Tant que long(n) != 1 faire s <- 0 k <- 0 Pour i de à long(n)-1 faire # Somme pondérée selon la série s <- s + Valeur(n[long(n)-1-i]) * serie[k] Si k < 5 alors k <- k + 1 Sinon k <- 0 Fin si Fin pour n <- Convch(s) # Réduire le nombre à la somme calculée Fin tant que # Vérification finale : divisible par 7 si résultat = 0 ou 7 Si (n = '7') ou (n = '0') alors retourner Vrai Sinon retourner Faux Fin si Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| i | entier |
| s | entier |
| k | entier |
La procédure remplir_fichiers_div()
Cette procédure a pour objectif de lire les nombres du fichier "Nombre.txt" et de créer deux fichiers distincts :
"Div13.txt" → pour les nombres divisibles par 13
"Div7.txt" → pour les nombres divisibles par 7
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Procédure remplir_fichiers_div(): # Ouverture des fichiers Ouvrir(f_nbr , "Nombre.txt", "r") # Fichier source Ouvrir(f_div13 , "Div13.txt", "w") # Fichier pour les nombres divisibles par 13 Ouvrir(f_div7 , "Div7.txt", "w") # Fichier pour les nombres divisibles par 7 # Lecture de tous les nombres nombres <- Lire_lignes(f_nbr) Pour nombre dans nombres faire nombre <- nombre.strip('\n') # Supprimer le saut de ligne Si divis13(nombre) alors # Vérifier divisibilité par 13 Ecrire(f_div13 , nombre + '\n') Fin si Si divis7(nombre, serie) alors # Vérifier divisibilité par 7 Ecrire(f_div7 , nombre + '\n') Fin si Fin pour # Fermeture des fichiers Fermer(f_nbr) Fermer(f_div13) Fermer(f_div7) Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| f_nbr | fichier |
| f_div13 | fichier |
| f_div7 | fichier |
| nombres | chaîne |
| nombre | chaîne |
La procédure afficher_fichiers_div
Cette procédure permet de lire et d’afficher le contenu d’un fichier texte ligne par ligne.
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Procédure afficher_fichiers_div(nom_fichier:chaine) Ecrire('*** Contenu fichier ' + nom_fichier + ' ***') # Ouverture en lecture Ouvrir(f , nom_fichier , "r") nombres <- Lire_lignes(f) # Affichage ligne par ligne Pour nombre dans nombres faire nombre <- nombre.strip('\n') Ecrire(nombre) Fin pour # Fermeture du fichier Fermer(f) Fin |
Déclaration des objets
| Objet | Type / Nature |
|---|---|
| f | fichier |
| nombres | chaîne |
| nombre | chaîne |
Solution en Python
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from numpy import * # -------------------------------------------------- # Création d'un tableau 'serie' de 100 entiers initialisés à 0 # Utilisé plus tard dans la fonction divis7 # -------------------------------------------------- serie = array([int()] * 100) # -------------------------------------------------- # Fonction qui saisit un entier n >= 5 # -------------------------------------------------- def saisie(): # Saisie initiale n = int(input('donner un nombre >=5: ')) # Vérification de la validité de la saisie while not (n >= 5): n = int(input('donner un nombre >=5: ')) # Retourner la valeur valide return n # -------------------------------------------------- # Procédure qui remplit le fichier "Nombre.txt" # avec n entiers saisis par l'utilisateur # -------------------------------------------------- def remplir_fichier_nombre(n): print('*** Remplir fichier Nombre.txt ***') # Ouverture du fichier en écriture f = open("Nombre.txt", "w") # Saisie et écriture des entiers dans le fichier for i in range(n): nbr = input('donner un entier: ') f.write(nbr + '\n') # Chaque entier est écrit sur une nouvelle ligne # Fermeture du fichier f.close() # -------------------------------------------------- # Fonction qui vérifie si un nombre est divisible par 13 # en utilisant une méthode de regroupement des 3 derniers chiffres # -------------------------------------------------- def divis13(n): s = 0 # Somme partielle sg = -1 # Alternance du signe (-1, +1) # Tant que le nombre a plus de 3 chiffres while len(n) > 3: # Prendre les 3 derniers chiffres v = int(n[len(n)-3:len(n)]) s = s + v * sg # Ajouter à la somme avec le signe sg = -sg # Inverser le signe pour la prochaine tranche n = n[0:len(n)-3] # Retirer les 3 derniers chiffres # Ajouter les chiffres restants v = int(n) s = s + v * sg # Retourner True si divisible par 13, False sinon return abs(s) % 13 == 0 # -------------------------------------------------- # Fonction qui vérifie si un nombre est divisible par 7 # en utilisant la série [1,3,2,-1,-3,-2] de manière répétitive # -------------------------------------------------- def divis7(n, serie): # Réduire le nombre à un chiffre par itérations while len(n) != 1: s = 0 k = 0 for i in range(len(n)): # Somme pondérée selon la série s = s + int(n[len(n)-1-i]) * serie[k] if k < 5: k = k + 1 else: k = 0 n = str(s) # Réduire le nombre à la somme calculée # Vérification finale : divisible par 7 si résultat = 0 ou 7 if n == '7' or n == '0': return True else: return False # -------------------------------------------------- # Procédure qui remplit les fichiers "Div13.txt" et "Div7.txt" # -------------------------------------------------- def remplir_fichiers_div(): # Ouverture des fichiers f_nbr = open("Nombre.txt", "r") # Fichier source f_div13 = open("Div13.txt", "w") # Fichier pour les nombres divisibles par 13 f_div7 = open("Div7.txt", "w") # Fichier pour les nombres divisibles par 7 # Lecture de tous les nombres nombres = f_nbr.readlines() for nombre in nombres: nombre = nombre.strip('\n') # Supprimer le saut de ligne if divis13(nombre): # Vérifier divisibilité par 13 f_div13.write(nombre + '\n') if divis7(nombre, serie): # Vérifier divisibilité par 7 f_div7.write(nombre + '\n') # Fermeture des fichiers f_nbr.close() f_div13.close() f_div7.close() # -------------------------------------------------- # Procédure qui affiche le contenu d'un fichier # -------------------------------------------------- def afficher_fichiers_div(nom_fichier): print('*** Contenu fichier ' + nom_fichier + ' ***') # Ouverture en lecture f = open(nom_fichier, "r") nombres = f.readlines() # Affichage ligne par ligne for nombre in nombres: nombre = nombre.strip('\n') print(nombre) # Fermeture du fichier f.close() # -------------------------------------------------- # Initialisation de la série utilisée pour divis7 # -------------------------------------------------- serie[0] = 1 serie[1] = 3 serie[2] = 2 serie[3] = -1 serie[4] = -3 serie[5] = -2 # -------------------------------------------------- # Programme principal # -------------------------------------------------- n = saisie() # Saisie du nombre d'entiers remplir_fichier_nombre(n) # Remplissage du fichier Nombre.txt remplir_fichiers_div() # Remplissage des fichiers Div13.txt et Div7.txt afficher_fichiers_div("Div13.txt") # Affichage des nombres divisibles par 13 afficher_fichiers_div("Div7.txt") # Affichage des nombres divisibles par 7 |
Exécution du programme
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